Элективный курс по теме: «Задачи с параметрами и модулем», 11 класс

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

            В соответствии с концепцией модернизации школьного образования элективные курсы являются обязательным компонентом школьного обучения.

Необходимость такого курса вызвана несколькими причинами:

  • результаты ЕГЭ 2005-2015 годов приводят к выводу о том, что выпускники испытывают серьезные затруднения при решении уравнений с параметрами.
  • необходимостью формирования логического мышления и математической культуры у школьников;
  • тесной взаимосвязью таких задач с физическими процессами и геометрическими закономерностями;
  • задания абитуриентов почти на 50% представлены подобными задачами, которые и определяют цели данного курса.

Практика работы в школе показывает, что задачи с параметрами и модулем представляют для школьников наибольшую трудность, как в логическом, так и в техническом плане, поэтому уравнения и неравенства, содержащие параметры и модули - это один из труднейших разделов школьного курса математики. В этом случае, кроме использования алгоритмов решения уравнений или неравенств, приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить множество тонкостей, спрятанных в задаче. Уравнения и неравенства с параметрами и модулями - это тема, где проверяется не «натасканность» ученика, а подлинное понимание им материала. И, естественно, что цена задачи резко возрастает, если в нее включен параметр или модуль, или их конфигурация, и возрастает вдвойне, если задание решено не традиционным, шаблонным, а нестандартным, оригинальным способом.

Данный элективный курс знакомит учащихся с функционально-графическими методами решения алгебраических задач с параметрами и модулем. К сожалению, в школьной программе этим заданиям мало уделяется времени и практикум призван восполнить данный пробел. Одновременно, элективный курс призван,  не только дополнять и углублять, знания учащихся, но и развивать их интерес к предмету, любознательность, логическое мышление.

Решение уравнений, неравенств и систем с параметрами и модулем открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

Элективный курс позволяет значительно сократить разрыв между требованиями, которые предъявляет своему абитуриенту ВУЗ и требованиями, которые предъявляет к своему выпускнику школа.

Поэтому, особая установка элективного курса - подготовка учащихся к конкурсным экзаменам в ВУЗы соответствующего профиля, и поэтому, преподавание должно обеспечить систематизацию знаний и умений, учащихся на уровне, предусмотренном программой вступительных экзаменов, так как учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются и с другими задачами.

Элективный курс рассчитан на 34 часа учебных занятий в 11 классе общеобразовательных школ.

Этот курс требует от учащихся большой самостоятельной работы, способствует подготовке учащихся к продолжению образования, повышения уровня математической культуры.

Элективный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления, концентрации внимания и математической культуры учащихся, расширяет по сравнению с общеобразовательной программой сферу математических знаний, побуждает их к исследовательской деятельности, существенно повышает графическую культуру школьников. Воспитательный эффект курса заключается в формировании таких важных качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, аккуратность.

 

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ЭЛЕКТИВНОГО  КУРСА:

  • изучение методов решения задач избранного класса и формирование умений, направленных на реализацию этих методов;
  • сформировать у учащихся представление  о задачах с параметрами и модулем, как задачах исследовательского характера, показать их многообразие;
  • научить применять аналитический метод и решение задач с параметрами и модулем;
  • научить приемам выполнения изображения на плоскости и их использованию в решении задач с параметрами и модулем;
  • научить осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновывать сделанный выбор;
  • пробуждение и развитие устойчивого интереса к математике, повышение математической культуры учащихся;
  • привитие навыков употребления функционально-графического метода при решении задач;
  • способствовать подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.

ВИДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ:

  • лекция;
  • беседа;
  • практикум;
  • консультация;
  • работа на компьютере.

 

ФОРМА ОБУЧЕНИЯ:

  • коллективная
  • групповая.

 

КОНТРОЛИРУЮЩИЙ МАТЕРИАЛ:

  • тесты.

 

Требования к знаниям и умениям:  в результате изучения курса учащиеся должны уметь

  • решать линейные и квадратные уравнения с параметром;
  • строить графики элементарных функций, и их комбинации, усложненные модулями;
  • решать иррациональные, логарифмические, тригонометрические, показательные  уравнения с параметром как аналитически, так и графически;
  • применять аппарат алгебры и математического анализа для решения прикладных задач;
  • иметь  четкое представление о возможностях функционально-графического подхода к решению различных задач.

ОЖИДАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ: в результате изучения курса учащиеся должны:

  • уметь решать линейные, квадратные уравнения и неравенства, система двух линейных уравнений с двумя переменными, несложные иррациональные уравнения с одним параметром при всех значениях параметра;
  • использовать в решении задач с параметром свойства квадратичной и линейной функции;
  • устанавливать свойства функции у = хр, у =  и изображать их графики при различных значениях р и  п;
  • изображать графики функции у = f(x-a) + b, y = af(bx) по известному графику функции у = f(x);
  • изображать графики функции

и уравнений

 по известному графику функции у = f(x);

  • использовать графики функции и уравнений при изображении множеств точек плоскости, заданных неравенствами, системами неравенств;
  • овладеть методами решения задач с параметрами и модулем с использованием графических интерпретаций;
  • осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;
  • владеть техникой использования каждого метода.

ФОРМЫ КОНТРОЛЯ:  домашние контрольные работы, рефераты и исследовательские работы.

СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

11 класс  (34 часа)

1. Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля (2 часа). Что такое модуль числа? Модули и расстояния. Освобождение от модулей в уравнениях. Методы решения уравнений содержащих несколько модулей. Параллельное раскрытие модулей. Метод интервалов в задачах с модулями. Модули и квадраты.

2. Построение графиков, содержащих знак модуля (2 часа). Графики элементарных функций, содержащие знак модуля, как у аргумента, так и у функции; двойные модули; графики уравнений и соответствий, содержащие знак модуля. Знакомство и работа с компьютерными программами для построения графиков.

3. Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений (3 часа). Рациональные уравнения, однородные уравнения, симметрические уравнения, возвратные уравнения. Иррациональные уравнения: простейшие, уравнения с несколькими радикалами, полные квадраты под знаком радикала, замена переменной, посторонние корни, применение свойств функций. Показательные и логарифмические уравнения, тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

Основная цель – систематизировать умения в решении рациональных и иррациональных уравнений; сформировать умения решать уравнения указанных видов с параметрами и модулем.

         Изучение темы начинается с повторения курса основной школы – решения линейных, квадратных, дробных, иррациональных уравнений. Решению дробных уравнений предшествует введение понятий равносильности. Его появление требует обработки: основное внимание следует уделить процессу осмысления учащимися выполнение преобразований в ходе решения уравнений, приводящих к равносильным уравнениям.

4. Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов (2 часа). Решение неравенств методом интервалов. Неравенства с одним модулем. Освобождение от модуля в неравенствах. Способы решения рациональных неравенств: разложение на множители, выделение полного квадрата, приведение к общему знаменателю и алгебраическое сложение дробей и т.д.

5. Простейшие задачи с параметрами (1 час). Понятие параметра. Две  основных формы постановки задачи с параметром. Графическая интерпретация задачи с параметром. Методы решения простейших задач с параметрами.

6. Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена (2 часа). Условия существования корней квадратного трехчлена. Знаки корней. Расположение корней квадратного трехчлена относительно точки, отрезка. Графическая интерпретация.

Основная цель – сформировать представление о методах решения задач с параметрами с использованием графических интерпретаций; научить анализировать исходные данные и на основе анализа осуществлять выбор метода решения.   

7. Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами (2 часа). Решение задач с помощью построения графиков левой и правой части уравнения или неравенства и «считывания» нужной информации с рисунка. Область определения. Множество значений. Четность. Монотонность. Периодичность. Симметрия графика относительно начала координат или оси ординат в зависимости от четности функции.

8. Приемы составления задач с параметрами, используя графики различных соответствий и уравнений. (1 час). Демонстрация приёма составления задач с параметром методом «от картинки к задаче».

9. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств (2 часа). Применение метода оценки левой и правой частей, входящих в уравнение или неравенство. «Полезные неравенства»: сумма двух взаимно обратных чисел, неравенство для суммы синуса и косинуса одного аргумента, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел.

10. Метод приведения к уравнению относительно неизвестной х с параметром а (2 часа). Основные приемы решения уравнений: тождественные преобразования, замена переменной. Равносильность уравнений. Исключение «посторонних» корней. Приемы решения рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.
11. Графический способ решения уравнений и неравенств (2 часа).  Работа по построению графиков с помощью компьютерных программ  Advanced Grapher, школьный графопостроитель – 1С, Математика + от AV.

         Основная цель – систематизировать знания учащихся о функциях у = хр (р  R, р0), у =  (п  N, п2); научить выполнять построение графиков с использованием параллельного переноса , растяжения и сжатия, симметрии.

          При изучении делается акцент на обоснование каждого из преобразований графиков. Далее отрабатываются правила построения.

         Особое внимание уделяется обработке навыков: построения области, заданных неравенствами, системами неравенств; выполнение необходимых преобразований ( в том числе выражений, содержащих несколько модулей), Направленных на приведение уравнений или неравенств к виду, удобному для изображения линий или областей, заданных уравнениями или неравенствами соответственно. 

12. Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений (2 часа). Основные приемы решения систем уравнений и неравенств: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Системы неравенств с одной и двумя переменными. Сравнение графического и алгебраического способов решения уравнений и неравенств.  Уравнения, неравенства и системы с параметрами, их решение и исследование.
13. Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум (2 часа). Производная сложной функции. Производная и касательная. Вторая производная. Исследование функций с помощью производной. Применение производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум.
14. Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный метод областей (4 часа). Перенос метода интервалов с прямой на плоскость. Обобщенный метод областей. Нахождение площади фигур, ограниченных неравенством. Применение метода областей к решению уравнений и неравенств с параметрами и модулем, и их комбинации.

15. Нетрадиционные задачи. Задачи группы "С" из ЕГЭ (5 часов). Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами. Задачи с параметром. От общего к частному и обратно. Задачи с: логическим содержанием. Практикум по решению задач, относящихся к группе «С», входящих в контрольно измерительные материалы ЕГЭ прошлых лет. Разбор методов и способов решения заданий.

 


задачи с парметрами и модулем

элективнй курс (34 часа)

ПРИМЕРНОЕ  Планирование  1 час в неделю

 

№ п/п

Название темы

основные понятия

часы 

лекции

практика

дата

фактич. дата

виды проверочных работ

1

Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля.

Модуль

2 ч

1

1

 

 

 

2

Построение графиков, содержащих знак модуля

Графики

2 ч

 

2

 

 

 

3

Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений.

 

3 ч

 

3

 

 

 

4

Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов.

неравенства с модулем

2 ч

 

2

 

 

 

5

Простейшие задачи с параметрами.

Параметры

1 ч

 

1

 

 

тест

6

Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена.

квадратный трехчлен

2 ч

 

2

 

 

д.к.р.

7

Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами.

Графики

2 ч

1

1

 

 

 

8

Приемы составления задач с параметрами, используя графики различных соответствий и уравнений.

 

1 ч

 

1

 

 

тест

9

Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств.

ограничен-ность функции

2 ч

1

1

 

 

 

10

Метод приведения к уравнению относительно неизвестной х с параметром а.

 

2 ч

 

2

 

 

тест

11

Графический способ решения уравнений и неравенств.

Графики

2 ч

 

2

 

 

д.к.р.

12

Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений.

 

2 ч

 

2

 

 

 

13

Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум.

максимум, минимум

2 ч

1

1

 

 

 

14

Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный метод областей.

область определе-ния

4 ч

1

3

 

 

д.к.р.

15

Нетрадиционные задачи.

Задачи группы "С" из ЕГЭ.

 

5 ч

 

5

 

 

 

 

Итого:

 

34 ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 


ПРИМЕЧАНИЕ

 

Данный элективный курс проходил апробацию в течение  двух лет  на базе муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения средней общеобразовательной школы поселка Ныртинского совхоза Кукморского муниципального района Республики Татарстан. Учащиеся, посещавшие элективный курс, специально не отбирались, приходили на занятия по желанию. В процессе работы часть учеников естественно отсеялась, не выдержав дополнительной нагрузки и уровня сложности рассматриваемых задач. Остались учащиеся, выбравшие, как правило, математику основой своей будущей профессии. В дальнейшем эти ребята весьма успешно сдали ЕГЭ, получили оценку отлично, набрав при этом от 70 и более баллов. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧЕНИКА.

  1. Алгебра: Учебник для 7 классов общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворова; Под редакцией С.А. Теляковского. -12-е. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Алгебра: Учебник для 8 классов общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворова; Под редакцией С.А. Теляковского. -11-е. – М.: Просвещение, 2005.
  3. Алгебра: Учебник для 9 классов общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворова; Под редакцией С.А. Теляковского. -10-е. – М.: Просвещение, 2004.
  4. Алгебра: 8 класс.: Задачник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. -3-е изд., испр. М.: Мнемозина, 2006.
  5. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/ А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудицин и др.; Под редакцией А.Н. Колмогорова. -12-е  изд. – М.: Просвещение, 2005.
  6. Балаян Э.Н. Микросправочник по математике для выпускников и абитуриентов. Ростов н/Д, 2002.
  7. Балаян Э.Н. Репетитор по математике для поступающих  в вузы. Ростов н/Д: изд-во «Феникс», 2003.
  8. Балаян Э.Н. Математика. Сам себе репетитор. Задачи повышенной сложности. Серия «Абитуриент», Ростов на Дону: Изд-во «Феникс», 2004.
  9. ЕГЭ 2010. Математика: репетитор / В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина. – М.: Эксмо, 2009. -320с.
  10. Лаппо Л.Д., Попов М.А. Математика. Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию. М.: изд-во «Экзамен», 2006.

 

 

 

                                  ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ.

  1. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике. – Минск.: Асар, 1996.
  2. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособие для школ и классов с угулб. изуч. матем. – М.: Просвещение, 1995.
  3. Гуськова Л.Н. Уравнения с параметрами. Методическое пособие. Казань 2006.
  4. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия решения. –М.: Школа-Пресс, 1994.
  5. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе: Пособие для учителя. –М.: Просвещение, 1996.
  6. Иванов А.П. Тесты и контрольные работы для систематизации знаний по математике: Учебное пособие для абитуриентов. Ч. 1 и 2. – Пермь: Изд-во Перм. Ун-та, 2000.
  7. Литвиенко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. – М.: ABF, 1995.
  8. Лысенко Ф.Ф. ЕГЭ. Тесты. 2015.
  9. Федеральный институт педагогических измерений. ЕГЭ математика. Новая версия. 2010.
  10. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы. – М.: Просвещение, 1999.
  11. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995.
  12.  Фельдман Я.С., Жаржевский А.Я. Математика. Решение задач с модулями: Пособие для абитуриентов и старшеклассников. – СПб.: Оракул, 1997.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение

 

 

 

 

 

 

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

 

     Задание 1.  Решите при всех значениях параметра а уравнение

ах = 2х + 5.

     Решение.

         Необходимо решить линейное уравнение с параметром. Сначала перенесем все неизвестные слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые. Получим (а – 2) х = 5.

         Чтобы найти значение х, в данном случае надо разделить уравнение на (а – 2). При всех ли значениях параметра а мы можем уравнение разделить на (а – 2)? Нет.

         При а = 2  выражение  а – 2 обращается в нуль, поэтому значение параметров  а = 2 является «особым» - контрольным значением параметра. Рассмотрим это значение отдельно.

     При а = 2   (2 – 2)х = 5; 0х = 5 – уравнение решений не имеет.

     Теперь а  2, и, чтобы выразить х, делим обе части уравнения на

(а – 2).

     При а  2 получим х = .

Ответ: при а = 2 решения нет; при а  2   х = .

Задание 2.  Решите при всех значениях параметра а неравенство

ах  2х + 5.

Решение.

Необходимо решить линейное неравенство с параметром. Перенесем все неизвестные слагаемые в левую часть неравенства и приведем подобные слагаемые. Получим (а – 2)х  5.

Чтобы найти значение х, надо разделить обе части неравенства на

(а – 2). При всех ли значениях параметра а мы можем неравенство разделить на (а – 2)?

         При а = 2 выражение а – 2 обращается в нуль.

         Рассмотрим это значение отдельно.

         При а = 2   (2 – 2)х  5; 0х  5. Это неравенство верно при любых значениях х, поэтому решением исходного неравенства при а = 2 является промежуток (-.

         Теперь а 2. Для того чтобы выразить х, надо разделить неравенство на (а – 2).

         Существенным отличием решения линейного неравенства с параметром от решения линейного уравнения с параметром является то, что знак неравенства при делении обеих частей неравенства на выражение с неизвестным может измениться на противоположный или не изменится.

          Поэтому при делении неравенства на выражение с параметром надо учитывать знак этого выражения.

          Если а – 2 < 0, то знак неравенства придется изменить; если а – 2 > 0, то знак неравенства не меняется.

         При а < 2   х  (знак неравенства изменился)

         При а > 2   х  (знак неравенства не изменился).

Ответ: при а = 2   х  (); при а < 2   х ; при а > 2   х .

 

Найдите все значения a, при каждом из которых решения неравенства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

УРАВНЕНИЕ С МОДУЛЕМ

Уравнения  и неравенства с модулем можно решать графически. Для этого выражения, содержащие параметр, переносят в одну часть уравнение (неравенства) и строят графики функции левой и правых частей уравнения (неравенства)

Задание 3. Найдите все значения а, при каждом из которых решения неравенства

образуют отрезок длины 1.

Решение.

Перенесем единицу:

                                               .

         Построим схематично графики функции   и  .     

                         

            На рисунке видно, что неравенство имеет решение только при  или .

         1)                    

Решения образуют отрезок длины 1, если  - (а + 4) = 1, откуда

а =

         2)                        

         Решения образуют отрезок длины 1, если а + 2 , откуда

         Ответ:  а =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

         Число корней квадратного уравнения определяют по знаку дискриминанта:

         Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня;

         Если D = 0, то уравнение имеет один корень (или два совпавших);

         Если D < 0, то уравнение не имеет корня.

 

Задание 4.  При каких значениях параметра а уравнение

4х2 – 4ах + 1 = 0: 1) имеет два различных корня; 2) имеет два корня; 3) не имеет корней?

         Решение.

         Найдем дискриминант исходного уравнения.

                                               D = 16 а2 – 4 • 4 • 1 = 16 а2 – 16.

         1) Так как уравнение имеет два различных корня, то

D = 16 а2 – 16 > 0, а2 > 1. Получим

                                      а

         2) Так как уравнение имеет два корня, не обязательно различных, то

D = 16 а2 – 16, а2  1 и а

         3) Так как уравнение не имеет корней, то

D = 16 а2 – 16 < 0,   а2 < 1 и  а(-1;1).

         Ответ: при а  уравнение имеет два различных корня; при а уравнение имеет два корня; при а(-1;1) уравнение не имеет корней.

 

 

 

 

 

 

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

         Рассмотрим решение иррационального уравнения с параметром.

         Задание 5.  Укажите наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение  имеет единственное решение.

 

         Уравнение имеет единственное решение, если:

  1. 1.     D = 0  и  х1 = х2  3.
  2. 2.    D > 0  и один из корней меньше 3, а другой больше 3, то есть, как говорят, 3 разделяет корни.

1.

         При а = -   х1 = х2 = .

         2. Рассмотрим функцию f(x) = x2-7x + 9 – 2a. Изобразим схематично график функции f(x) (параболу) с указанными свойствами (3 разделяет корни).

 

Имеем следующее условие: f(3)< 0.

         Решим неравенство: f(3)< 0, так как f(3) = -3 – 2а < 0, то а > - 1,5.

         Итак, условиям задачи удовлетворяют следующие значения а: ,  а > - 1,5. Наименьшее целое из них равно -1.

         Ответ: - 1.

Задачи с параметром

 

1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение

(a - 1)x2 + 2x + a - 1 = 0

имеет ровно один корень? 

          1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a ¹ 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a

4a2 - 8a = 0,

откуда a = 0 или a = 2. 

1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a Î {0; 1; 2}. 

 


2. Задача.
Найти все значения параметра a, при которых имеет два различных корня уравнение

x2+4ax+8a+3 = 0.


2. Решение.
Уравнение x2+4ax+8a+3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a2-4(8a+3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a2-8a-3 > 0, откуда

a < 1 –  

Ö7

 2

   или    a > 1 +  

Ö7

 2



2. Ответ:

a Î (-¥; 1 –  

Ö7

 2

) È (1 +  

Ö7

 2

; ¥).

 


3. Задача.
Известно, что


f2(x) = 6x-x2-6.


а) Постройте график функции f1(x) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f1(x) и f2(x) имеют единственную общую точку? 

3. Решение.
3.а. Преобразуем f1(x) следующим образом

 

График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа. 
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx+b и y = ax2+bx+c (a ¹ 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx+b = ax2+bx+cимеет единственный корень. Используя представление f1 из 3.а, приравняем дискриминант уравнения a = 6x-x2-6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2x-a = 6x-x2-6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3. 


4. Задача.
Найти все значения a, при которых множество решений неравенства x2-2ax-3a ³ 0 содержит отрезок [3;6]. 

4. Решение.
Первая координата вершины параболы f(x) = x2-2ax-3a равна x0 = a. Из свойств квадратичной функции условие f(x) ³ 0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех систем

ì
í
î

 

 

a £ 3,

f(3) = 9-9a ³ 0,

 

ì
í
î

 

3 < a < 6,

D = 4a2+12a £ 0,

 

ì
í
î

 

a ³ 6,

f(6) = 36-15a ³ 0.


Решением первой системы является множество (-∞,1]. Вторая и третья система решений не имеют. 

4. Ответ: a Î (-¥,1]. 

 


5. Задача (9 кл.)
При каком наименьшем натуральном значении a уравнение

x2+2ax-3a+7 = 2x


имеет ровно два решения? 

5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a2+a-6 > 0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3. 

5. Ответ: 3. 


6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a, при которых график функции

f(x) =

x2+|ax+2|

a-1

 

проходит через точку с координатами (-1;1). 

6. Решение.
Из условия f(-1) = 1 имеем уравнение

1 =

1+|-a+2|

a-1

,

или, после очевидных преобразований, a-2 = |2-a|. Последнее уравнение равносильно неравенству a ³2. 

6. Ответ: a Î [2;¥). 


7. Задача (10 кл.)
При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения

x2-2ax+a2-a = 0

больше чем 12? 

7. Решение.
Дискриминант уравнения x2-2ax+a2-a = 0 равен 4a. Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a ³ 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x1+x2 = 2a и x1·x2 =a2-a. Отсюда x12+x22 = (x1+x2)2-2x1·x2 = 2a2+2a. Решениями неравенства 2a2+2a > 12, удовлетворяющими условию a ³ 0, являются числа a > 2. 

7. Ответ: a > 2.