ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ

 СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

 «ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР» С. ПОДЪЁМ-МИХАЙЛОВКА

 МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА ВОЛЖСКИЙ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ

 

 

         «Утверждаю»                                  «Согласовано»                         Рассмотрено

Директор ГБОУ СОШ                  Зам.директора по УВЧ            на заседании Совета

«Образовательный центр»          ________Никонова А.И.      методического кабинета

с. Подъём-Михайловка.                 «____»__________2014г.       «____»__________2014г. ____________Петров С.А.

«____»___________2014г.

 

 

 

 

Рабочая программа

элективного курса по математике

«Решение уравнений и неравенств с параметрами»

для 11 класса

учителя математики

Муравьевой

Инны Евгеньевны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

Элективный курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами» рассчитан на учащихся11 класса. На курс отводится 34 часа (1раз в неделю).

Курс предназначен для углубленного изучения математики в средней школе и подготовки к выпускным экзаменам. В последние годы на выпускных экзаменах ЕГЭ все чаще предлагаются задачи с параметрами, которые у многих выпускников вызывают немалые трудности. Хотя многие довольно сложные задачи без параметров у них не вызывают особых затруднений, что свидетельствует об отсутствии у выпускников навыков решения задач с параметрами. Предлагаемый курс с помощью исторических сведений и задач расширяет, углубляет базовую программу по алгебре и началам анализа. Курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию абстрактного, логического мышления учащихся.

Задачи, предлагаемые в курсе интересны и часто не просты в решении. Это позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и дает им возможность проверить свои способности по математике.

При изучении курса рекомендуется активно использовать поисково – исследовательскую деятельность учащихся, которая реализуется как на занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы школьников. Данный курс предоставляет ученику возможность получить опыт работы на уровне повышенных требований. Вместе с тем, содержание курса позволяет школьнику активно включиться в учебно – познавательный процесс и максимально проявить себя. Занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся.

В каждой теме даны: новый материал, задачи для самостоятельного решения, образцы решения задач. Материалы излагаются в доступной и занимательной форме с привлечением исторических фактов. При проведении занятий возможны различные формы индивидуальной и групповой деятельности. Кроме того, изучая данный элективный курс, школьники смогут на практике использовать задачи с параметрами в других содержательных линиях математики, в частности при сдачи ЕГЭ.

 

ЦЕЛИ КУРСА

 

  • Изучить методы решения задач избранного класса и сформировать умения, направленные на реализацию этих методов;
  • Сформировать у учащихся представления о задачах с параметрами, как задачах исследовательского характера, показать их многообразие;
  • Развивать мыслительные способности учащихся, умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать;
  • Формировать познавательный интерес по математике;
  • Способствовать подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.

 

ПЛАНИРУЕМЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

 

В результате изучения элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами» учащиеся должны уметь:

  • усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с параметрами;
  • применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр;
  • проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
  • овладеть исследовательской деятельностью.
  • Выполнять самопроверку (сопоставление с верно выполненным) и взаимопроверку с объяснительным оцениванием.

ВИДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НА ЗАНЯТИЯХ

 

Формы проведения занятий включают в себя лекции, самостоятельную работу, практические работы, тренинги по использованию методов поиска решений, взаимоопросы, консультации, тесты (контрольные и объяснительные) работу на компьютере.

Основной тип занятий комбинированный урок. Каждая тема курса начинается с постановки задачи. Теоретический материал излагается в форме мини лекции. После изучения теоретического материала выполняются практические задания для его закрепления: тренинги, взаимоопросы, консультации, как учителя, так и учащихся.

Занятия строятся с учетом индивидуальных особенностей обучающихся, их темпа восприятия и уровня материала. Используются коллективные и групповые формы работы.

В ходе обучения периодически проводятся непродолжительные, рассчитанные на 15-20 минут тестовые испытания для определения глубины знаний и скорости выполнения заданий. Контрольные замеры обеспечивают эффективную обратную связь, позволяющую обучающим и обучающимся корректировать свою деятельность. Систематическое повторение  способствует более целостному осмыслению изученного материала, поскольку целенаправленное обращение к изученным ранее темам позволяет учащимся встраивать новые понятия в систему уже освоенных знаний.

ХАРАКТЕРИСТИКА РЕСУРСОВ

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

  1. А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа. Учебник. Профильный уровень. 10-11 кл.»
  2. А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа. Задачник. Профильный уровень. 10-11 кл.»
  3. ЕГЭ 2014 г.Математика. Типовые задания (под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко, издательство «Экзамен» 2014 г.)
  4. В.В.Локоть «Задачи с параметрами»
  5. ЕГЭ 2013 г. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся (под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко. Интеллект – Центр, 2013г.)

Интернет -  ресурсы

  1. http://alexlarin.narod.ru/

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

 

  1. В.В.Локоть «Тригонометрия: уравнения, неравенства системы уравнений с параметрами»
  2. В.В.Локоть «Иррациональные уравнения с параметрами»
  3. В.В.Локоть «Показательные и логарифмические уравнения с параметрами»
  4. Журнал «Математика» №2, 2014 г.
  5. Журнал «Математика» №3, 2013 г.
  6. Журнал «Математика» №2, 2012 г.
  7. Журнал «Математика» №23,2011 г.
  8. Журнал «Математика» №16, 2010 г.
  9. Журнал «Математика»№ 2, 2009 г.

10. Журнал «Математика» № 9, 2008 г.

11. Журнал «Математика» №14, 2007 г.

12. ЕГЭ 2014 Математика. Типовые задания (по редакции А.Л.Семенова М.В.Ященко – М.Издательство «Экзамен», 2014 г)

13. Единый государственный экзамен 2013 г. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся (по редакции А.Л.Семенова, И.В.Ященко. ФИПИ – М: Интеллект – Центр, 2013г.)

14. Сукманюк В.Н. «Решение задач с параметрами»

15. В.В.Мочалов, В.В.Сильвестров «Уравнения и неравенства с параметрами». Чебоксары, изд. Чувашского Университета 2011 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

 

№п/п

Тема

Количество часов

1

Вводное занятие

2

2

Решение линейных уравнений и неравенств с параметрами

4

2,1

Решение линейных уравнений с параметрами

2

2,2

Решение линейных неравенств с параметрами

2

3

Решение квадратных уравнений и неравенств с параметрами

4

3,1

Решение квадратных уравнений с параметрами

2

3,2

Решение квадратных неравенств с параметрами

2

4

Решение тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами

5

4,1

Решение тригонометрических уравнений с параметрами

3

4,2

Решение тригонометрических неравенств с параметрами

2

4,3

Домашняя контрольная работа

 

5

Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами

4

5,1

Решение иррациональных уравнений с параметром

2

5,2

Решение иррациональных неравенств с параметром

2

6

Решение показательных уравнений и неравенств с параметром

4

6,1

Решение показательных уравнений с параметром

2

6,2

Решение показательных неравенств с параметром

2

7

Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметрами

4

7,1

Решение логарифмических уравнений с параметром

2

7,2

Решение логарифмических неравенств с параметром

2

7,3

Домашняя контрольная работа №2

 

8

Нестандартные задачи группы «С» из ЕГЭ

7

8,1

Решение задач

5

8,2

Практическая работа

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

 

1.Вводное занятие (2 часа)

Сообщение о целях и задачах курса. Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр.
Основные приемы решения задач с параметрам.
Решение простейших уравнений с параметрами.

Цель: Дать первоначальное представление учащемуся о параметре и помочь привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений.

2.Решение линейных уравнений (и уравнений, приводимых к линейным), содержащих параметр. (4 часа)

Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр.
Решение уравнений, приводимых к линейным.
Решение линейно-кусочных уравнений.
Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр.
Геометрическая интерпретация.
Решение систем уравнений.

Цель: Поиск решения линейных уравнений в общем виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра.

Решение линейных неравенств, содержащих параметр.

Определение линейного неравенства.
Алгоритм решения неравенств.
Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами.
Исследование полученного ответа.
Обработка результатов, полученных при решении.

Цель: Выработать навыки решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств.

3.Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметр.(4 часа)

Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета.

Исследование трехчлена.
Алгоритм решения уравнений.
Графический способ. Аналитический способ решения.
Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.

Цель: Формировать умение и навыки решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами.

4.Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами (5 часов)

Разбор и решение тригонометрических уравнений и неравенств, содержащих параметр. Условие существования решений. Число корней уравнения.

Цель: Формировать умения и навыки решения тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.

5.Иррациональные уравнения с параметром.(4 часа) 

Схемы решения иррациональных уравнений.

Область определения уравнения. Решение соответствующих уравнений, содержащих параметр.

Цель: Сформировать умение решать иррациональные уравнения с параметром.

Исследование иррациональных уравнений, содержащих параметр.

 Иррациональные неравенства с параметром

Схемы решения иррациональных неравенств. Решение соответствующих неравенств, содержащих параметр.

Цель: Формировать умение и навыки решения иррациональных неравенств с параметром.

6. Показательные уравнения, содержащие параметры.(4 часа) 

Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений, содержащих параметры.

Цель: Сформировать умение решать показательные уравнения с параметрами. 

 Показательные неравенства,содержащие параметры.

Свойства показательной функции. Решение показательных неравенств, содержащих параметры.
Цель: Формировать умение и навыки решения показательных неравенств с параметром.

7.Логарифмические уравнения, содержащие параметры (4 часа)

Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений с параметрами.

Цель: Формировать умение и навыки решения логарифмических уравнений   с параметром.

Логарифмические неравенства, содержащие параметр

Свойства логарифмической функции. Решение логарифмических неравенств с параметрами.

Цель: Формировать умение и навыки решения логарифмических неравенств с параметром.

8.Нестандартные задачи с параметрами. (7 часов)

Использование различных свойств при решении задач с параметрами.

Умение проводить анализ задачи, находить алгоритм решения.

Цель: Формировать навыки исследовательской деятельности, развивать логическое и математическое мышление.

 

 

 

 

 

 

УЧЕБНО –ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

 

Тема

Количество часов

Формы контроля

 

 

всего

аудиторных

Внеаудиторных

в т.ч. на практическую деятельность

 

 

 

1 Вводное занятие 

2

2

 

 

 

 

 

2Решение линейных уравнений

4

4

 

 

с/р, работа в группе, тренинг

3Решение квадратных уравнений и неравенств с параметрами

4

4

 

 

взаимоопрос,тест

4Решение тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами

5

4

1

1

работа в компьютерном классе,консультация учителя,тест,д.к.р№1

5Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами

4

4

 

 

практическая работа по образцу,парная работа с/р

6Решение показательных уравнений и неравенств с параметрами

4

4

 

 

тренинг

7Решение логарифметических уравнений и неравенств с параметрами

4

3

1

1

работа в компьютерном классе,консультация 2 к.р.

8 Нетрадиционные задачи.Задачи группы "С" из ЕГЭ

7

7

 

 

тренинг,с/р,практическая работа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Справка о реализации учебной программы профессионального обучения элективного курса “Решение уравнений  и неравенств с параметрами”

 

 

ГБОУ СОШ “ОЦ” с. Подъём - Михайловка действительно проводило реализацию образовательной программы  элективного курса “Решение уравнений и неравенств с параметрами” в 2013\2014 учебном году в 11 классе (математический профиль)

 В этом учебном году по запросу родителей и учащихся выпускного класса данный элективный курс востребован в связи с тем, что 50%  учащихся 11класса желают продолжать обучение в технических вузах и лицеях.

  Учебная программа  элективного   курса  утверждена на методическом совете  школы (протокол №1 от 7 сентября 2012г.). В  рецензии  данной на реализацию элективного курса методическим советом  отмечено:

1.Приоритеты методики изучения курса: интерактивность, субъект-субъектный   подход, фасилитация.

2.Ведущее место отводится методам   поискового и исследовательского характера.

3.Значительна доля самостоятельной работы с различными источниками информации.

4.В тематическом плане расписаны содержание тем курса с указанием бюджета времени, выделяются часы на практические работы, самостоятельные в  медиатеке.

5.Определены ожидаемые результаты  изучения  элективного курса; разработаны формы промежуточного контроля и итоговой зачетной работы  по курсу.

 В выпускном классе в 2013-2014 учебном году средний балл по результатам ЕГЭ – 2014 по математике- 52,8;4-рейтинг среди школ  м.р. Волжский. По результатам административной контрольной работы в 2013-2014 учебном году 60% учащихся уверенно решают задачи с параметрами, которые дают  прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской  работы.

 

 

 

 

Учитель математики

ГБОУ СОШ “ОЦ”

с. Подьем- Михайловка                                            Муравьева И.Е.

 

 

 

 

Директор школы:                                                     Петров С.А.

ОБРАЗЦЫ УЧЕБНЫХ МАТЕРИАЛОВ И ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ

ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА «РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ»

Линейные уравнения с параметром

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами: ах = b, где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0. 

1. Если  а ≠ 0 , то  при  любой  паре  параметров  а   и  b  оно  имеет  единственное  решение  х = .

 

2. Если  а = 0, то  уравнение  принимает  вид: 0 х = b. В  этом  случае  значение  b = 0  является  особым  значением  параметра  b. 

2.1.    При  b ≠ 0 уравнение  решений  не  имеет.

2.2.    При  b = 0  уравнение  примет  вид: 0 х = 0. Решением  данного  уравнения  является  любое  действительное  число.

 

Пример. Решить уравнение

2а(а — 2) х = а — 2.         (1)

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества

A1={0}, А2={2} и А3= {а≠0, а≠2}

и  решить уравнение (1) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

 

1) а=0 ;    2) а=2 ;    3) а≠0, а≠2.

Рассмотрим эти случаи.

 

1) При а=0 уравнение (1) принимает вид 0 х = - 2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение (1) принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.                                                                                  

3) При а≠0, а≠2  из уравнения (1) получаем, х =  ,

откуда х =  .

 

0твет:   1) Если а=0,то корней нет;

                    2)если а=2, то х – любое  действительное число;                                          

3)     если а≠0, а≠2 , то  х = .

Линейные неравенства с параметром

 

Неравенство вида  и () называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства  - промежуток , если , и , если . Аналогично для неравенства  множество решений - , если , и , если .

Пример.

Решить неравенство:

 

Решение:

 

 

Рассмотрим три случая:

1.

решением неравенства:   является любое действительное число.

2.

 

3.

 

 

Ответ:  при ;   при ; при .

 

 

         Квадратные уравнения с параметром

(а — 1) х2+2 (2а+1) х+(4а+3) =0;     (2)

Решение.  В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в том, что при a=1 уравнение (2) является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:    1) а = l; 2) а≠1.

 

Рассмотрим эти случаи.

1) При a=1 уравнение (2) примет вид 6х+7=0. Из этого

         уравнения находим х = -.

2) Из множества значений параметра а ≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (2) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, то при переходе значения D через точку ао дискриминант может изменить знак (например, при а<ао D< 0, а при а>ао D>0). Вместе с этим при переходе через точку ао меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а<ао корней нет, так как D< 0, а при а>ао D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (2):

=(2а+ l)2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.

Из уравнения  = 0 находим а = -— второе контрольное значение параметра а. При

 

этом если а <-, то D <0; если   a≥-, то  D≥0, a ≠ 1.

 

Таким образом, осталось решить уравнение (2) в случае, когда а <-  и  в  случае, когда  { a≥-,  a ≠ 1 }.

Если а <-, то  уравнение  (2)  не  имеет  действительных корней; если  же

{ a≥-,   a ≠ 1 }, то  находим 

Ответ:   1) если  а <-, то корней  нет; 

                            2) если  а = 1,  то  х = -;

                            3) если  a≥-,  a ≠ 1, то      .

 

Пример. При каких значениях параметра корни уравнения

                                                                              (1)

больше 1?

 

Решение. Очевидно, что задача равносильна следующей: при каких значениях параметра корни квадратного трехчлена

 

больше 1?

Переход от одной формулировки задачи к другой подчеркивает ту общую часто используемую при решении алгебраических уравнений второй степени идею, которая связана с описанием тех или иных свойств квадратного трехчлена и их геометрической интерпретации на графике. В частности, для того, чтобы корни квадратного трехчлена

                                                                             (2)

были больше числа , необходимо и достаточно выполнение условий

                                                                                                  (3)

(см. рис. 1.1.)

Условия (3) равносильны условиям

 

где  - дискриминант, а - производная квадратного трехчлена. Требование же того, чтобы корни квадратного трехчлена были меньше числа , означает выполнение условий

 

 

Возвращаясь к исходной задаче, замечаем, что при =0 уравнение (1) имеет корень , который требованиям задачи не удовлетворяет.

Рассмотрим случай . При таких условия (3) запишутся в виде

 

Решая эту систему, находим, что .

Очевидно, что этот же результат мы получили бы и решая неравенство , где  - меньший корень уравнения (1)

 

Ответ:  .

 

Квадратные неравенства с параметрами

 

Квадратными неравенствами называются неравенства вида ,

Пример:

Решить неравенство:

 

Решение:

.

Если  , то неравенство справедливо для всех .

Если  , то корни трехчлена  и множество решений неравенства .

Если  то

При      , при      .

Ответ:  при ;  при .

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами

 

Пример.

Решите уравнение

 

Решение.

Т.к. , а  то уравнение равносильно системе:

    только при .

Ответ. ,   при ; нет решения при .

 

Пример.

Решить неравенство

    

Решение

Исходное неравенство равносильно неравенству

 

, 

Ответ:  ,

Иррациональные уравнения с параметрами

 

Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.

 Пример. В зависимости от значений параметра  решить уравнение

                                                                                          (1)

Решение. Решим уравнение (1) пятью способами, которые необходимо знать, ибо наряду с другими подходами они могут быть использованы и при решении иных типов уравнений.

Способ 1. Уравнение (1) равносильно системе

 

или системе

                                                                                                           (2)

Решая уравнение из системы (2), находим

                                                                                         (3)

откуда следует, что при  уравнение (1) имеет одно решение . Если , то , и тогда уравнение (1) будет иметь два решения при тех значениях параметра , при которых совместна система

,

т.е. при

Уравнение (1) будет иметь только один корень , если , а . В этом случае решая систему

 

приходим к выводу, что .

Замечая теперь, что при  дискриминант уравнения системы (2) отрицателен, получаем

Ответ:     если , то решений нет;

                        если , то ;

                        если , то ;

                        если , то .

 

Способ 2. Возведя обе части уравнения (1) в квадрат, получим уравнение из системы (2), корни которого задаются формулами (3). Но здесь надо иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения (1) в квадрат могли появиться посторонние корни.

Поэтому при данном способе решения необходимо произвести проверку. Так, подставляя корень  в исходное уравнение, придем к соотношению

,

откуда .

Если же подставить корень  в уравнение (1), то придем уже к отношению , и, таким образом, .

Учитывая теперь, что при  корней нет, а при  имеем , получаем тот же ответ, что и при первом способе решения.

 

Способ 3. Если воспользоваться геометрическим смыслом квадратного трехчлена, то, обращаясь к равносильной уравнению (1) в системе (2), приходим к выводу, что уравнение (1)будет иметь корни и  в том случае, когда корни квадратного трехчлена  не меньше . Аналитически соответствующие условия записываются в виде системы

 

Решая эту систему, находим, что .

При  уравнение (1) имеет решение .

Если же , т.е. , то уравнение (1) будет иметь один корень . При  решений нет.

 

 

Способ 4. Рассмотрим графики функций

 и

заданных соответственно левой и правой частями уравнения (6.1).

 

Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут решениями уравнения (1). При  графики не пересекаются (см. рис. 6.1) и значит уравнение (1) решений не имеет.

При  графики касаются и уравнение (1) имеет один корень .

При  уравнение (1) будет иметь корни  и , определяемые формулами (3) (см. рис. 6.2).

 

При  графики функций  и  пересекаются в одной точке, и значит уравнение (1) имеет одно решение  (см. рис. 6.3)

  

 

 

Способ 5. Перепишем равносильную уравнению (1) систему (2) в виде

 

Построив тогда в плоскости график функции  при условии (см. рис. 6.4), мы приходим к выводам, полученным ранее четырьмя рассмотренными способами.

 

Ответ:       если , то решений нет;

                        если , то ;

                        если , то ;

                        если , то .

Иррациональные неравенства с параметрами

 

Пример.

Решить неравенство:

 

Решение.

Область допустимых значений . Если , то неравенство выполняется при всех допустимых значениях .  Если же , то   откуда

Ответ:  при ,  при

 

Логарифмические неравенства с параметрами

 

Пример. Найти все значения параметра , при которых неравенство

 

выполняется для всех действительных значений .

Решение. Исходное неравенство

 

равносильно следующей совокупности двух систем:

 

 

 

(1)

 

 

(2)
 

(1)

 

 

(2)
 
                                                                        

В системе (1) параметр , поэтому коэффициент , стоящий при в левой части последнего неравенства, положителен, следовательно, последнее неравенство системы (1) равносильно неравенству

 

которое не может выполняться при всех действительных значениях  при любом фиксированном значении параметра . Таким образом, система (1) не дает искомых значений параметра.

В системе

                                                                                       (2)

из первого неравенства () так же, как и раньше, вытекает, что , следовательно, второе неравенство равносильно неравенству

,

которое, очевидно, выполняется для всех действительных  тогда и только тогда, когда

 

 

С учетом того, что , получаем

Ответ:     

Логарифмические уравнения с параметрами

Пример.

 

Решение

ОДЗ:

  откуда

 

 таким образом, уравнение при любых ,  имеет решение

.

Ответ: .

 

 

Пример. 

Найти все значения параметра a, при которых уравнение 21g(x + 3) = lg ax имеет единственный корень.

Решение:
Данное уравнение эквивалентно системе:

Квадратное уравнение имеет единственное решение, если D = 0, то D = (a - 6)2 – 4 • 9 = a2 – 12a. D = 0 при a = 12. Если a = 0, то x = -3 ∉ (-3; +∞). Если a = 12, то .

При D > 0 квадратное уравнение может иметь два решения, а исходное уравнение – только одно из двух, если другое решение квадратного уравнения не удовлетворяет условию x > -3. Это возможно, если корни квадратного уравнения расположены по разные стороны от точки x = -3. Поэтому, если значение квадратного трехчлена в точке x > -3 отрицательно, т.е. (-3)2 + 2(a - 6) + 9 < 0, то больший корень квадратного уравнения будет справа от точки x = -3, а меньший – слева. Таким образом, при a < 0 данное уравнение будет иметь одно решение.

Ответ: уравнение имеет одно решение при a = 12, a < 0.

Пример  

Найти все значения параметра, при которых уравнение x + log1 / 3(9x - 2a) = 0 имеет два различных решения.

Решение:

Используя определение логарифма и свойства степеней, запишем уравнение в виде: 32x - 2a = 3x. Введем новое переменное t = 3x, тогда уравнение имеет вид t2 - t - 2a = 0. Его дискриминант D = 1 + 8a. Квадратное уравнение имеет два решения, если оба корня квадратного уравнения положительные и удовлетворяют условию 9x - 2a > 0, т.е. t2 - 2a > 0. Из квадратного уравнения t2 - 2a = t, поэтому условие выполняется при всех положительных t.

По теореме Виета для квадратного уравнения

 

откуда оба корня положительные при a < 0.

Объединяя условия существования двух различных корней квадратного уравнения и их положительности, получаем: a ∈ (-1 / 8; 0).

Ответ: Уравнение имеет два различных решения при a ∈ (-1 / 8; 0).

Пример

Решить уравнение

.

Решение:

Логарифмическая функция определена только при a > 0, a ≠ 1, поэтому при a ≤ 0, a = 1 уравнение не определено и, следовательно, не имеет решения. Решим уравнение при a > 0, a ≠ 1. О.Д.З. x > 0, x ≠ 1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a. . На основании свойств логарифмов получаем уравнение loga2 x = 2 + loga x. Введем вспомогательную переменную t = loga x. Квадратное уравнение t2 - t - 2 = 0 имеет корни t1 = 2, t2 = -1. Поэтому loga x = 2, loga x = -1, откуда x1 = a2, x2 = 1 / a. Оба корня принадлежат области допустимых значений при a > 0, a ≠ 1.

Ответ: при a ≤ 0, a = 1 x ∈ ∅, при a > 0, a ≠ 1 x1 = a2, x2 = 1 / a.

Показательные уравнения и неравенства с параметрами

 

Пример.

Решить уравнение

 

Решение

Пусть  

 

Корни которого ,

Т.к. , то уравнение  имеет решение

 при ,  а уравнение  имеет решение  при .

Ответ:  при ;  при ; при  нет решений; при  .

 

Пример. 

При каких значениях параметра уравнение a  2x + 2x - 1 - 5 = 0 имеет единственное решение?

Решение:

Введем обозначение 2x = t. Уравнение принимает вид: a  t + 1 / t - 5 = 0, или a  t2 - 5t + 1 = 0. Если a = 0, то t = 1 / 5, 2x = 1 / 5, x = -log2 5. Если a > 0, D = 0, т.е. 25 - 4a = 0, a = 25 / 4, то t = 2 / 5, 2x = 2 / 5, x = log2 2 / 5 - единственное решение. Если a > 0, D < 0, то исходное уравнение не имеет решения, т.к. не имеет решения квадратное уравнение. Если a < 0, то D = 25 - 4a всегда положительный, следовательно квадратное уравнение всегда имеет два корня, причем один из корней положительный, а другой – отрицательный, т.к. t1  t2 = 1 / a < 0 при a < 0, поэтому исходное показательное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: уравнение имеет единственное решение при a ≤ 0, a = 25 / 4.

 

Пример.

Решить неравенство

 

Решение:

Пусть

1.  решение неравенства

 

2. . В этом случае решение неравенства

 

3. .

 решения не имеет.

Ответ:  при ; нет решений при ;  при .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Образцы оценочных средств по теме

«Линейные уравнения и неравенства с параметрами».

(4 часа)

 

  1. 1.      Тренинг (Смотреть образцы учебных материалов)

Задачи для самостоятельного решения линейных уравнений с параметрами:

1)      ;

2)      ;

3)      ;

4)     

Ответы:

1)      при ; 0 при

2)      при ; 0 при

3)      при ; 0 при

4)      при; ;

при

0 при

 

  1. 2.      Работа в группе (4 чел; 30 мин)

1)      При какома, уравнение,имеет корень равный -1?

2)      При какома, уравнение, не имеет решения?

3)      При какома, уравнение, имеет одно положительное решение?

4)      Решить уравнение .

Решения уравнений: (Учащиеся могут сверяться с решением, если не получается)

1)      Подставим  в уравнение

 

 

 

 Ответ: 4

2)     

 

 

 

При - решений нет. Ответ: а=6

 

3)     

 

 

 

при- бесконечно много положительных решений;

при и  - единственное положительное решение .

Ответ , .

 

4)      ОДЗ: уравнение имеет смысл при всех

 

 

, т.к.  Ответ:  при ; 0 при

Оценивание: За 1 или 2 задачу – «4»; За 3 или 4 задачу – «5»

  1. Тренинг (Смотреть образцы учебных материалов)

Задачи для самостоятельного решения линейных неравенств с параметрами:

1)      ;

2)      ;

3)      ;

4)      ;

5)      .

Ответы:

1)       при ;

при ;

 при .

2)       при;

0 при ;

 при .

3)       при;

 при ;

 при .

4)       при;

 при ;

 при .

5)      при;

0 при ;

 при ;

 при .

 

  1. Самостоятельная работа (20 мин)

1)      При каких а уравнение  не имеет решений?

2)      Решить уравнение: ;

3)      Решить неравенство .

Оценивание: За одно или два задания – «4»; За три задания – «5».


 

Образцы оценочных средств по теме

«Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами».

(4 часа)

 

  1. 1.      Практическая работа по образцу (Смотреть образцы учебных материалов)

1)      Решить уравнение ;

2)      Решить неравенство

Ответы:

1)      0 при ;

при ;

 при ;

 при .

2)       при ;

 при .

 

  1. 2.      Работа парами:

Iвариант

IIвариант

1)Решить уравнение

 

 

2) Решить неравенство

&n

Design by JuliettaRose Studio. Support RusEdu
Администрация сайта не несёт ответственности за размещаемый пользователями контент.