ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ
СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА
«ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР» С. ПОДЪЁМ-МИХАЙЛОВКА
МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА ВОЛЖСКИЙ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ
«Утверждаю» «Согласовано» Рассмотрено
Директор ГБОУ СОШ Зам.директора по УВЧ на заседании Совета
«Образовательный центр» ________Никонова А.И. методического кабинета
с. Подъём-Михайловка. «____»__________2014г. «____»__________2014г. ____________Петров С.А.
«____»___________2014г.
Рабочая программа
элективного курса по математике
«Решение уравнений и неравенств с параметрами»
для 11 класса
учителя математики
Муравьевой
Инны Евгеньевны
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Элективный курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами» рассчитан на учащихся11 класса. На курс отводится 34 часа (1раз в неделю).
Курс предназначен для углубленного изучения математики в средней школе и подготовки к выпускным экзаменам. В последние годы на выпускных экзаменах ЕГЭ все чаще предлагаются задачи с параметрами, которые у многих выпускников вызывают немалые трудности. Хотя многие довольно сложные задачи без параметров у них не вызывают особых затруднений, что свидетельствует об отсутствии у выпускников навыков решения задач с параметрами. Предлагаемый курс с помощью исторических сведений и задач расширяет, углубляет базовую программу по алгебре и началам анализа. Курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию абстрактного, логического мышления учащихся.
Задачи, предлагаемые в курсе интересны и часто не просты в решении. Это позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и дает им возможность проверить свои способности по математике.
При изучении курса рекомендуется активно использовать поисково – исследовательскую деятельность учащихся, которая реализуется как на занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы школьников. Данный курс предоставляет ученику возможность получить опыт работы на уровне повышенных требований. Вместе с тем, содержание курса позволяет школьнику активно включиться в учебно – познавательный процесс и максимально проявить себя. Занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся.
В каждой теме даны: новый материал, задачи для самостоятельного решения, образцы решения задач. Материалы излагаются в доступной и занимательной форме с привлечением исторических фактов. При проведении занятий возможны различные формы индивидуальной и групповой деятельности. Кроме того, изучая данный элективный курс, школьники смогут на практике использовать задачи с параметрами в других содержательных линиях математики, в частности при сдачи ЕГЭ.
ЦЕЛИ КУРСА
- Изучить методы решения задач избранного класса и сформировать умения, направленные на реализацию этих методов;
- Сформировать у учащихся представления о задачах с параметрами, как задачах исследовательского характера, показать их многообразие;
- Развивать мыслительные способности учащихся, умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать;
- Формировать познавательный интерес по математике;
- Способствовать подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.
ПЛАНИРУЕМЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В результате изучения элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами» учащиеся должны уметь:
- усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с параметрами;
- применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр;
- проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
- овладеть исследовательской деятельностью.
- Выполнять самопроверку (сопоставление с верно выполненным) и взаимопроверку с объяснительным оцениванием.
ВИДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НА ЗАНЯТИЯХ
Формы проведения занятий включают в себя лекции, самостоятельную работу, практические работы, тренинги по использованию методов поиска решений, взаимоопросы, консультации, тесты (контрольные и объяснительные) работу на компьютере.
Основной тип занятий комбинированный урок. Каждая тема курса начинается с постановки задачи. Теоретический материал излагается в форме мини лекции. После изучения теоретического материала выполняются практические задания для его закрепления: тренинги, взаимоопросы, консультации, как учителя, так и учащихся.
Занятия строятся с учетом индивидуальных особенностей обучающихся, их темпа восприятия и уровня материала. Используются коллективные и групповые формы работы.
В ходе обучения периодически проводятся непродолжительные, рассчитанные на 15-20 минут тестовые испытания для определения глубины знаний и скорости выполнения заданий. Контрольные замеры обеспечивают эффективную обратную связь, позволяющую обучающим и обучающимся корректировать свою деятельность. Систематическое повторение способствует более целостному осмыслению изученного материала, поскольку целенаправленное обращение к изученным ранее темам позволяет учащимся встраивать новые понятия в систему уже освоенных знаний.
ХАРАКТЕРИСТИКА РЕСУРСОВ
ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ
- А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа. Учебник. Профильный уровень. 10-11 кл.»
- А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа. Задачник. Профильный уровень. 10-11 кл.»
- ЕГЭ 2014 г.Математика. Типовые задания (под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко, издательство «Экзамен» 2014 г.)
- В.В.Локоть «Задачи с параметрами»
- ЕГЭ 2013 г. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся (под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко. Интеллект – Центр, 2013г.)
Интернет - ресурсы
ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
- В.В.Локоть «Тригонометрия: уравнения, неравенства системы уравнений с параметрами»
- В.В.Локоть «Иррациональные уравнения с параметрами»
- В.В.Локоть «Показательные и логарифмические уравнения с параметрами»
- Журнал «Математика» №2, 2014 г.
- Журнал «Математика» №3, 2013 г.
- Журнал «Математика» №2, 2012 г.
- Журнал «Математика» №23,2011 г.
- Журнал «Математика» №16, 2010 г.
- Журнал «Математика»№ 2, 2009 г.
10. Журнал «Математика» № 9, 2008 г.
11. Журнал «Математика» №14, 2007 г.
12. ЕГЭ 2014 Математика. Типовые задания (по редакции А.Л.Семенова М.В.Ященко – М.Издательство «Экзамен», 2014 г)
13. Единый государственный экзамен 2013 г. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся (по редакции А.Л.Семенова, И.В.Ященко. ФИПИ – М: Интеллект – Центр, 2013г.)
14. Сукманюк В.Н. «Решение задач с параметрами»
15. В.В.Мочалов, В.В.Сильвестров «Уравнения и неравенства с параметрами». Чебоксары, изд. Чувашского Университета 2011 г.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
№п/п |
Тема |
Количество часов |
1 |
Вводное занятие |
2 |
2 |
Решение линейных уравнений и неравенств с параметрами |
4 |
2,1 |
Решение линейных уравнений с параметрами |
2 |
2,2 |
Решение линейных неравенств с параметрами |
2 |
3 |
Решение квадратных уравнений и неравенств с параметрами |
4 |
3,1 |
Решение квадратных уравнений с параметрами |
2 |
3,2 |
Решение квадратных неравенств с параметрами |
2 |
4 |
Решение тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами |
5 |
4,1 |
Решение тригонометрических уравнений с параметрами |
3 |
4,2 |
Решение тригонометрических неравенств с параметрами |
2 |
4,3 |
Домашняя контрольная работа |
|
5 |
Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами |
4 |
5,1 |
Решение иррациональных уравнений с параметром |
2 |
5,2 |
Решение иррациональных неравенств с параметром |
2 |
6 |
Решение показательных уравнений и неравенств с параметром |
4 |
6,1 |
Решение показательных уравнений с параметром |
2 |
6,2 |
Решение показательных неравенств с параметром |
2 |
7 |
Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметрами |
4 |
7,1 |
Решение логарифмических уравнений с параметром |
2 |
7,2 |
Решение логарифмических неравенств с параметром |
2 |
7,3 |
Домашняя контрольная работа №2 |
|
8 |
Нестандартные задачи группы «С» из ЕГЭ |
7 |
8,1 |
Решение задач |
5 |
8,2 |
Практическая работа |
2 |
СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА
1.Вводное занятие (2 часа)
Сообщение о целях и задачах курса. Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр.
Основные приемы решения задач с параметрам.
Решение простейших уравнений с параметрами.
Цель: Дать первоначальное представление учащемуся о параметре и помочь привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений.
2.Решение линейных уравнений (и уравнений, приводимых к линейным), содержащих параметр. (4 часа)
Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр.
Решение уравнений, приводимых к линейным.
Решение линейно-кусочных уравнений.
Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр.
Геометрическая интерпретация.
Решение систем уравнений.
Цель: Поиск решения линейных уравнений в общем виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра.
Решение линейных неравенств, содержащих параметр.
Определение линейного неравенства.
Алгоритм решения неравенств.
Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами.
Исследование полученного ответа.
Обработка результатов, полученных при решении.
Цель: Выработать навыки решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств.
3.Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметр.(4 часа)
Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета.
Исследование трехчлена.
Алгоритм решения уравнений.
Графический способ. Аналитический способ решения.
Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.
Цель: Формировать умение и навыки решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами.
4.Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами (5 часов)
Разбор и решение тригонометрических уравнений и неравенств, содержащих параметр. Условие существования решений. Число корней уравнения.
Цель: Формировать умения и навыки решения тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.
5.Иррациональные уравнения с параметром.(4 часа)
Схемы решения иррациональных уравнений.
Область определения уравнения. Решение соответствующих уравнений, содержащих параметр.
Цель: Сформировать умение решать иррациональные уравнения с параметром.
Исследование иррациональных уравнений, содержащих параметр.
Иррациональные неравенства с параметром
Схемы решения иррациональных неравенств. Решение соответствующих неравенств, содержащих параметр.
Цель: Формировать умение и навыки решения иррациональных неравенств с параметром.
6. Показательные уравнения, содержащие параметры.(4 часа)
Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений, содержащих параметры.
Цель: Сформировать умение решать показательные уравнения с параметрами.
Показательные неравенства,содержащие параметры.
Свойства показательной функции. Решение показательных неравенств, содержащих параметры.
Цель: Формировать умение и навыки решения показательных неравенств с параметром.
7.Логарифмические уравнения, содержащие параметры (4 часа)
Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений с параметрами.
Цель: Формировать умение и навыки решения логарифмических уравнений с параметром.
Логарифмические неравенства, содержащие параметр
Свойства логарифмической функции. Решение логарифмических неравенств с параметрами.
Цель: Формировать умение и навыки решения логарифмических неравенств с параметром.
8.Нестандартные задачи с параметрами. (7 часов)
Использование различных свойств при решении задач с параметрами.
Умение проводить анализ задачи, находить алгоритм решения.
Цель: Формировать навыки исследовательской деятельности, развивать логическое и математическое мышление.
УЧЕБНО –ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
Тема |
Количество часов |
Формы контроля |
|
||||
|
всего |
аудиторных |
Внеаудиторных |
в т.ч. на практическую деятельность |
|
|
|
1 Вводное занятие |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2Решение линейных уравнений |
4 |
4 |
|
|
с/р, работа в группе, тренинг |
||
3Решение квадратных уравнений и неравенств с параметрами |
4 |
4 |
|
|
взаимоопрос,тест |
||
4Решение тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами |
5 |
4 |
1 |
1 |
работа в компьютерном классе,консультация учителя,тест,д.к.р№1 |
||
5Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами |
4 |
4 |
|
|
практическая работа по образцу,парная работа с/р |
||
6Решение показательных уравнений и неравенств с параметрами |
4 |
4 |
|
|
тренинг |
||
7Решение логарифметических уравнений и неравенств с параметрами |
4 |
3 |
1 |
1 |
работа в компьютерном классе,консультация 2 к.р. |
||
8 Нетрадиционные задачи.Задачи группы "С" из ЕГЭ |
7 |
7 |
|
|
тренинг,с/р,практическая работа |
Справка о реализации учебной программы профессионального обучения элективного курса “Решение уравнений и неравенств с параметрами”
ГБОУ СОШ “ОЦ” с. Подъём - Михайловка действительно проводило реализацию образовательной программы элективного курса “Решение уравнений и неравенств с параметрами” в 2013\2014 учебном году в 11 классе (математический профиль)
В этом учебном году по запросу родителей и учащихся выпускного класса данный элективный курс востребован в связи с тем, что 50% учащихся 11класса желают продолжать обучение в технических вузах и лицеях.
Учебная программа элективного курса утверждена на методическом совете школы (протокол №1 от 7 сентября 2012г.). В рецензии данной на реализацию элективного курса методическим советом отмечено:
1.Приоритеты методики изучения курса: интерактивность, субъект-субъектный подход, фасилитация.
2.Ведущее место отводится методам поискового и исследовательского характера.
3.Значительна доля самостоятельной работы с различными источниками информации.
4.В тематическом плане расписаны содержание тем курса с указанием бюджета времени, выделяются часы на практические работы, самостоятельные в медиатеке.
5.Определены ожидаемые результаты изучения элективного курса; разработаны формы промежуточного контроля и итоговой зачетной работы по курсу.
В выпускном классе в 2013-2014 учебном году средний балл по результатам ЕГЭ – 2014 по математике- 52,8;4-рейтинг среди школ м.р. Волжский. По результатам административной контрольной работы в 2013-2014 учебном году 60% учащихся уверенно решают задачи с параметрами, которые дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.
Учитель математики
ГБОУ СОШ “ОЦ”
с. Подьем- Михайловка Муравьева И.Е.
Директор школы: Петров С.А.
ОБРАЗЦЫ УЧЕБНЫХ МАТЕРИАЛОВ И ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ
ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА «РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ»
Линейные уравнения с параметром
Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами: ах = b, где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра а является значение а = 0.
1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х = .
2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b. В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b.
2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.
2.2. При b = 0 уравнение примет вид: 0 х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.
Пример. Решить уравнение
2а(а — 2) х = а — 2. (1)
Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества
A1={0}, А2={2} и А3= {а≠0, а≠2}
и решить уравнение (1) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:
1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а≠0, а≠2.
Рассмотрим эти случаи.
1) При а=0 уравнение (1) принимает вид 0 х = - 2. Это уравнение не имеет корней.
2) При а=2 уравнение (1) принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.
3) При а≠0, а≠2 из уравнения (1) получаем, х = ,
откуда х = .
0твет: 1) Если а=0,то корней нет;
2)если а=2, то х – любое действительное число;
3) если а≠0, а≠2 , то х = .
Линейные неравенства с параметром
Неравенство вида и () называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства - промежуток , если , и , если . Аналогично для неравенства множество решений - , если , и , если .
Пример.
Решить неравенство:
Решение:
Рассмотрим три случая:
1.
решением неравенства: является любое действительное число.
2.
3.
Ответ: при ; при ; при .
Квадратные уравнения с параметром
(а — 1) х2+2 (2а+1) х+(4а+3) =0; (2)
Решение. В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в том, что при a=1 уравнение (2) является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а = l; 2) а≠1.
Рассмотрим эти случаи.
1) При a=1 уравнение (2) примет вид 6х+7=0. Из этого
уравнения находим х = -.
2) Из множества значений параметра а ≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (2) обращается в 0.
Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, то при переходе значения D через точку ао дискриминант может изменить знак (например, при а<ао D< 0, а при а>ао D>0). Вместе с этим при переходе через точку ао меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а<ао корней нет, так как D< 0, а при а>ао D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.
Составим дискриминант уравнения (2):
=(2а+ l)2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.
Из уравнения = 0 находим а = -— второе контрольное значение параметра а. При
этом если а <-, то D <0; если a≥-, то D≥0, a ≠ 1.
Таким образом, осталось решить уравнение (2) в случае, когда а <- и в случае, когда { a≥-, a ≠ 1 }.
Если а <-, то уравнение (2) не имеет действительных корней; если же
{ a≥-, a ≠ 1 }, то находим
Ответ: 1) если а <-, то корней нет;
2) если а = 1, то х = -;
3) если a≥-, a ≠ 1, то .
Пример. При каких значениях параметра корни уравнения
(1)
больше 1?
Решение. Очевидно, что задача равносильна следующей: при каких значениях параметра корни квадратного трехчлена
больше 1?
Переход от одной формулировки задачи к другой подчеркивает ту общую часто используемую при решении алгебраических уравнений второй степени идею, которая связана с описанием тех или иных свойств квадратного трехчлена и их геометрической интерпретации на графике. В частности, для того, чтобы корни квадратного трехчлена
(2)
были больше числа , необходимо и достаточно выполнение условий
(3)
(см. рис. 1.1.)
Условия (3) равносильны условиям
где - дискриминант, а - производная квадратного трехчлена. Требование же того, чтобы корни квадратного трехчлена были меньше числа , означает выполнение условий
Возвращаясь к исходной задаче, замечаем, что при =0 уравнение (1) имеет корень , который требованиям задачи не удовлетворяет.
Рассмотрим случай . При таких условия (3) запишутся в виде
Решая эту систему, находим, что .
Очевидно, что этот же результат мы получили бы и решая неравенство , где - меньший корень уравнения (1)
Ответ: .
Квадратные неравенства с параметрами
Квадратными неравенствами называются неравенства вида ,
Пример:
Решить неравенство:
Решение:
.
Если , то неравенство справедливо для всех .
Если , то корни трехчлена и множество решений неравенства .
Если то
При , при .
Ответ: при ; при .
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами
Пример.
Решите уравнение
Решение.
Т.к. , а то уравнение равносильно системе:
только при .
Ответ. , при ; нет решения при .
Пример.
Решить неравенство
Решение
Исходное неравенство равносильно неравенству
,
Ответ: ,
Иррациональные уравнения с параметрами
Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.
Пример. В зависимости от значений параметра решить уравнение
(1)
Решение. Решим уравнение (1) пятью способами, которые необходимо знать, ибо наряду с другими подходами они могут быть использованы и при решении иных типов уравнений.
Способ 1. Уравнение (1) равносильно системе
или системе
(2)
Решая уравнение из системы (2), находим
(3)
откуда следует, что при уравнение (1) имеет одно решение . Если , то , и тогда уравнение (1) будет иметь два решения при тех значениях параметра , при которых совместна система
,
т.е. при
Уравнение (1) будет иметь только один корень , если , а . В этом случае решая систему
приходим к выводу, что .
Замечая теперь, что при дискриминант уравнения системы (2) отрицателен, получаем
Ответ: если , то решений нет;
если , то ;
если , то ;
если , то .
Способ 2. Возведя обе части уравнения (1) в квадрат, получим уравнение из системы (2), корни которого задаются формулами (3). Но здесь надо иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения (1) в квадрат могли появиться посторонние корни.
Поэтому при данном способе решения необходимо произвести проверку. Так, подставляя корень в исходное уравнение, придем к соотношению
,
откуда .
Если же подставить корень в уравнение (1), то придем уже к отношению , и, таким образом, .
Учитывая теперь, что при корней нет, а при имеем , получаем тот же ответ, что и при первом способе решения.
Способ 3. Если воспользоваться геометрическим смыслом квадратного трехчлена, то, обращаясь к равносильной уравнению (1) в системе (2), приходим к выводу, что уравнение (1)будет иметь корни и в том случае, когда корни квадратного трехчлена не меньше . Аналитически соответствующие условия записываются в виде системы
Решая эту систему, находим, что .
При уравнение (1) имеет решение .
Если же , т.е. , то уравнение (1) будет иметь один корень . При решений нет.
Способ 4. Рассмотрим графики функций
и
заданных соответственно левой и правой частями уравнения (6.1).
Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут решениями уравнения (1). При графики не пересекаются (см. рис. 6.1) и значит уравнение (1) решений не имеет.
При графики касаются и уравнение (1) имеет один корень .
При уравнение (1) будет иметь корни и , определяемые формулами (3) (см. рис. 6.2).
При графики функций и пересекаются в одной точке, и значит уравнение (1) имеет одно решение (см. рис. 6.3)
Способ 5. Перепишем равносильную уравнению (1) систему (2) в виде
Построив тогда в плоскости график функции при условии (см. рис. 6.4), мы приходим к выводам, полученным ранее четырьмя рассмотренными способами.
Ответ: если , то решений нет;
если , то ;
если , то ;
если , то .
Иррациональные неравенства с параметрами
Пример.
Решить неравенство:
Решение.
Область допустимых значений . Если , то неравенство выполняется при всех допустимых значениях . Если же , то откуда
Ответ: при , при
Логарифмические неравенства с параметрами
Пример. Найти все значения параметра , при которых неравенство
выполняется для всех действительных значений .
Решение. Исходное неравенство
равносильно следующей совокупности двух систем:
|
|
В системе (1) параметр , поэтому коэффициент , стоящий при в левой части последнего неравенства, положителен, следовательно, последнее неравенство системы (1) равносильно неравенству
которое не может выполняться при всех действительных значениях при любом фиксированном значении параметра . Таким образом, система (1) не дает искомых значений параметра.
В системе
(2)
из первого неравенства () так же, как и раньше, вытекает, что , следовательно, второе неравенство равносильно неравенству
,
которое, очевидно, выполняется для всех действительных тогда и только тогда, когда
С учетом того, что , получаем
Ответ:
Логарифмические уравнения с параметрами
Пример.
Решение
ОДЗ:
откуда
таким образом, уравнение при любых , имеет решение
.
Ответ: .
Пример.
Найти все значения параметра a, при которых уравнение 21g(x + 3) = lg ax имеет единственный корень.
Решение:
Данное уравнение эквивалентно системе:
Квадратное уравнение имеет единственное решение, если D = 0, то D = (a - 6)2 – 4 • 9 = a2 – 12a. D = 0 при a = 12. Если a = 0, то x = -3 ∉ (-3; +∞). Если a = 12, то .
При D > 0 квадратное уравнение может иметь два решения, а исходное уравнение – только одно из двух, если другое решение квадратного уравнения не удовлетворяет условию x > -3. Это возможно, если корни квадратного уравнения расположены по разные стороны от точки x = -3. Поэтому, если значение квадратного трехчлена в точке x > -3 отрицательно, т.е. (-3)2 + 2(a - 6) + 9 < 0, то больший корень квадратного уравнения будет справа от точки x = -3, а меньший – слева. Таким образом, при a < 0 данное уравнение будет иметь одно решение.
Ответ: уравнение имеет одно решение при a = 12, a < 0.
Пример
Найти все значения параметра, при которых уравнение x + log1 / 3(9x - 2a) = 0 имеет два различных решения.
Решение:
Используя определение логарифма и свойства степеней, запишем уравнение в виде: 32x - 2a = 3x. Введем новое переменное t = 3x, тогда уравнение имеет вид t2 - t - 2a = 0. Его дискриминант D = 1 + 8a. Квадратное уравнение имеет два решения, если оба корня квадратного уравнения положительные и удовлетворяют условию 9x - 2a > 0, т.е. t2 - 2a > 0. Из квадратного уравнения t2 - 2a = t, поэтому условие выполняется при всех положительных t.
По теореме Виета для квадратного уравнения |
|
откуда оба корня положительные при a < 0. |
Объединяя условия существования двух различных корней квадратного уравнения и их положительности, получаем: a ∈ (-1 / 8; 0).
Ответ: Уравнение имеет два различных решения при a ∈ (-1 / 8; 0).
Пример
Решить уравнение |
. |
Решение:
Логарифмическая функция определена только при a > 0, a ≠ 1, поэтому при a ≤ 0, a = 1 уравнение не определено и, следовательно, не имеет решения. Решим уравнение при a > 0, a ≠ 1. О.Д.З. x > 0, x ≠ 1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a. . На основании свойств логарифмов получаем уравнение loga2 x = 2 + loga x. Введем вспомогательную переменную t = loga x. Квадратное уравнение t2 - t - 2 = 0 имеет корни t1 = 2, t2 = -1. Поэтому loga x = 2, loga x = -1, откуда x1 = a2, x2 = 1 / a. Оба корня принадлежат области допустимых значений при a > 0, a ≠ 1.
Ответ: при a ≤ 0, a = 1 x ∈ ∅, при a > 0, a ≠ 1 x1 = a2, x2 = 1 / a.
Показательные уравнения и неравенства с параметрами
Пример.
Решить уравнение
Решение
Пусть
Корни которого ,
Т.к. , то уравнение имеет решение
при , а уравнение имеет решение при .
Ответ: при ; при ; при нет решений; при .
Пример.
При каких значениях параметра уравнение a 2x + 2x - 1 - 5 = 0 имеет единственное решение?
Решение:
Введем обозначение 2x = t. Уравнение принимает вид: a t + 1 / t - 5 = 0, или a t2 - 5t + 1 = 0. Если a = 0, то t = 1 / 5, 2x = 1 / 5, x = -log2 5. Если a > 0, D = 0, т.е. 25 - 4a = 0, a = 25 / 4, то t = 2 / 5, 2x = 2 / 5, x = log2 2 / 5 - единственное решение. Если a > 0, D < 0, то исходное уравнение не имеет решения, т.к. не имеет решения квадратное уравнение. Если a < 0, то D = 25 - 4a всегда положительный, следовательно квадратное уравнение всегда имеет два корня, причем один из корней положительный, а другой – отрицательный, т.к. t1 t2 = 1 / a < 0 при a < 0, поэтому исходное показательное уравнение имеет единственное решение.
Ответ: уравнение имеет единственное решение при a ≤ 0, a = 25 / 4.
Пример.
Решить неравенство
Решение:
Пусть
1. решение неравенства
2. . В этом случае решение неравенства
3. .
решения не имеет.
Ответ: при ; нет решений при ; при .
Образцы оценочных средств по теме
«Линейные уравнения и неравенства с параметрами».
(4 часа)
- 1. Тренинг (Смотреть образцы учебных материалов)
Задачи для самостоятельного решения линейных уравнений с параметрами:
1) ;
2) ;
3) ;
4)
Ответы:
1) при ; 0 при
2) при ; 0 при
3) при ; 0 при
4) при; ;
при
0 при
- 2. Работа в группе (4 чел; 30 мин)
1) При какома, уравнение,имеет корень равный -1?
2) При какома, уравнение, не имеет решения?
3) При какома, уравнение, имеет одно положительное решение?
4) Решить уравнение .
Решения уравнений: (Учащиеся могут сверяться с решением, если не получается)
1) Подставим в уравнение
Ответ: 4
2)
При - решений нет. Ответ: а=6
3)
при- бесконечно много положительных решений;
при и - единственное положительное решение .
Ответ , .
4) ОДЗ: уравнение имеет смысл при всех
, т.к. Ответ: при ; 0 при
Оценивание: За 1 или 2 задачу – «4»; За 3 или 4 задачу – «5»
- Тренинг (Смотреть образцы учебных материалов)
Задачи для самостоятельного решения линейных неравенств с параметрами:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Ответы:
1) при ;
при ;
при .
2) при;
0 при ;
при .
3) при;
при ;
при .
4) при;
при ;
при .
5) при;
0 при ;
при ;
при .
- Самостоятельная работа (20 мин)
1) При каких а уравнение не имеет решений?
2) Решить уравнение: ;
3) Решить неравенство .
Оценивание: За одно или два задания – «4»; За три задания – «5».
Образцы оценочных средств по теме
«Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами».
(4 часа)
- 1. Практическая работа по образцу (Смотреть образцы учебных материалов)
1) Решить уравнение ;
2) Решить неравенство
Ответы:
1) 0 при ;
при ;
при ;
при .
2) при ;
при .
- 2. Работа парами:
Iвариант |
IIвариант |
1)Решить уравнение |
|
|
|
2) Решить неравенство |
|
&n Администрация сайта не несёт ответственности за размещаемый пользователями контент.
|